Боюсь, что в меня полетят тапки..
По мне уж лучше усыпить, чем приют или улица. Вы не представляете на сколько мучительна и болезненна смерть с таким диагнозом в том месте, что называют приютом или на улице.

Попробуйте заняться проблемами кота и решить их. Возьмите на прокат или купите большую клетку, изолируйте в ней с лотком и прочим..
Если не можете сами решить, то найдите людей, кто сделает это за Вас и заплатите за услуги.

Смерть это крайний случай, потому что её нельзя исправить.