Попробуйте обратиться к другому врачу, не должен котик какать с кровью.
Если будет контакт с непривитой кошкой, то прививки сделать все, которые положены (в ветеринарке знают).
Не выпускать просто, если дверь не вечно нараспашку. Кошки, обычно, сами просятся туда-сюда, поэтому как та кошка попросится, выпустить ее, проследить, чтоб ваш кот следом не выскочил и все. Дверь открыл, кошка вышла, дверь закрыл.