К врачу идти обязательно. В слюне кота могут быть бактерии, рана инфицируется. А могут быть гормоны (в период половой активности) - тоже приятного мало, рана распухнет.
Врач проведёт обработку раны и лечение (возможно, курс антибиотиков).
Никто Вашего домашнего кота забирать не имеет права. Впрочем, в нашем государстве уже ни от чего не зарекаешься, но, в крайнем случае, просто вежливо пошлёте санитарных визитёров, не открывая дверь своей частной собственности. Наверняка силовую поддержку в виде СОБР или ОМОН никто на захват кота вызывать не будет.
А вот если не сходить к врачу - может быть худо.