В Москве при наличии прививки и отметке о ней в паспорте животного, а также отметки о проведении дегельментизации (у меня была только "плановая" перед прививкой) ничего не потребуется.
Обязательно уточняйте у авиакомпании, которой полетите, что перевозка в салоне животного разрешена. Есть авиакомпании, у которых животные летят только багажом. У S7 заявлены нереальные размеры, на самом деле переноска может быть и больше. НО не выше 26 см, иначе просто не войдет. Главное чтобы она вошла под сидения. У меня чуть выше и я могу ее задвинуть в самолете только со стороны прохода. У S7 при покупке билета нужно делать запрос о перевозе животного в салоне. Допускается не более 2 в салоне. Если кто-то успел перед вами, вас уже могут завернуть. Дегельментизация должна быть проведена. Там есть понятие "карантина" в течение 30 дней перед путешествием. Но в вет клиниках обычно не оч строго за этим следят. Купите специальную пеленку в переноску.